Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 = ．
（1）求 的值
（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面積S．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理，則 = ，

所以 = ，

即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化簡可得sin（A+B）=2sin（B+C）．

因為A+B+C=π，所以sinC=2sinA．

因此 =2

（2）解：由 =2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB= ，b=2，

得4=a2+4a2﹣4a2× ．解得a=1，從而c=2．

因為cosB= ，且sinB= = ，

因此S= acsinB= ×1×2× =

【解析】（1）由正弦定理，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式化簡已知可得sinC=2sinA，即可得解 =2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，從而c=2．利用同角三角函數基本關系式可求sinB的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
【考點精析】利用正弦定理的定義和余弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．