Question

如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，將正三角形BCD沿BD向上折起，折起后的點C記為C′，且CC′=a（0＜a＜

3

）．
（1）若a=

3

2

，求二面角C-BD-C′的大小；
（2）當a變化時，線段CC′上是否總存在一點E，使得AC′∥平面BED？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AC，交BD于點O，連接OC'，菱形ABCD中，CO⊥BD，得到∠C'OC為二面角C-BD-C'的平面角，由此能求出二面角C-BD-C'的大小．
（2）當a變化時，線段CC'的中點E總滿足AC'∥平面BED．因為E，O分別為線段CC'，AC的中點，所以OE∥AC'，所以AC'∥平面BED．

解答：解：（1）連接AC，交BD于點O，連接OC'，
菱形ABCD中，CO⊥BD，
因三角形BCD沿BD折起，所以C'O⊥BD，
故∠C'OC為二面角C-BD-C'的平面角，
易得C′O=CO=

3

2

，而CC′=

3

2

，
所以∠C′OC=

π

3

，二面角C-BD-C'的大小為

π

3

；
（2）當a變化時，線段CC'的中點E總滿足AC'∥平面BED，
下證之：
因為E，O分別為線段CC'，AC的中點，所以OE∥AC'，
又AC'?平面BED，OE?平面BED，所以AC'∥平面BED．

點評：本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象、推理論證能力．