Question

如圖，在體積為的正三棱錐中，長為，為棱的中點，求

（1）異面直線與所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）正三棱錐的表面積．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）本題求異面直線所成的角，根據定義要把這個角作出來，一般平移其中一條，到與另一條相交為此，題中由于有的中點，因此我們以中點，就有，那么就是所求的角（或其補角）；（2）要求正三棱錐的表面積，必須求得斜高，由已知體積，可以先求得棱錐的高，取的中心，那么就是棱錐的高，下面只要根據正棱錐的性質（正棱錐中的直角三角形）應該能求得側棱長或斜高，有了斜高，就能求得棱錐的側面積了，再加上底面積，就得到表面積了．
試題解析：（1）過點作平面，垂足為，則為的中心，由得（理1分文2分）
又在正三角形中得，所以          （理2分文4分）
取中點，連結、，故∥，
所以就是異面直線與所成的角．（理4分文6分）
在△中，，，      （理5分文8分）
所以．      （理6分文10分）
所以，異面直線與所成的角的大小為． （理7分文12分）

（2）由可得正三棱錐的側面積為
           （理10分）
所以正三棱錐的表面積為
．            （理12分）
考點：（1）異面直線所成的角；（2）棱錐的體積與表面積．