Question

對于定義域為A的函數f(x)，如果任意的x1，x2∈A，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，則稱函數f(x)是A上的嚴格增函數；函數f(k)是定義在N*上，函數值也在N*中的嚴格增函數，并且滿足條件f(f(k))＝3k.

(1)證明：f(3k)＝3f(k)；

(2)求f(3k－1)(k∈N*)的值；

(3)是否存在p個連續的自然數，使得它們的函數值依次也是連續的自然數；若存在，找出所有的p值，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）2×3k－1(k∈N*)（3）存在p＝3k－1＋1

【解析】(1)證明：對k∈N*，f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝f(3k)①

由已知f(f(k))＝3k，∴f[f(f(k))]＝3f(k)，②

由①、②∴f(3k)＝3f(k)

(2)若f(1)＝1，由已知f(f(k))＝3k得f(1)＝3，矛盾；

設f(1)＝a＞1，∴f(f(1))＝f(a)＝3，③

由f(k)嚴格遞增，即1＜a⇒f(1)＜f(a)＝3，

∴∴f(1)＝2，

由③f(f(1))＝f(a)＝3，故f(f(1))＝f(2)＝3.

∴f(1)＝2，f(2)＝3.

f(3)＝3f(1)＝6，f(6)＝f(3·2)＝3f(2)＝9，

f(9)＝3f(3)＝18，f(18)＝3f(6)＝27，

f(27)＝3f(9)＝54，f(54)＝3f(18)＝81.

依此類推歸納猜出：f(3k－1)＝2×3k－1(k∈N*)．

下面用數學歸納法證明：

(1)當k＝1時，顯然成立；

(2)假設當k＝l(l≥1)時成立，即f(3l－1)＝2×3l－1，

那么當k＝l＋1時，f(3l)＝f(3×3l－1)＝3f(3l－1)＝3×2×3l－1＝2·3l.猜想成立，由(1)、(2)所證可知，對k∈N*f(3k－1)＝2×3k－1成立．

(3)存在p＝3k－1＋1，當p個連續自然數從3k－1→2×3k－1時，函數值正好也是p個連續自然數從f(3k－1)＝2×3k－1→f(2×3k－1)＝3k.