Question

已知函數f(x)＝x²－2acos kπ·ln x(k∈N^*，a∈R，且a>0)．
(1)討論函數f(x)的單調性；
(2)若k＝2 04，關于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

（1）當k是奇數時，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數；
當k是偶數時，f(x)在(0，)上是單調減函數，在(，＋∞)上是單調增函數．
（2）

解：(1)由已知得x>0
且f′(x)＝2x－(－1)^k·.
當k是奇數時，f′(x)>0，
則f(x)在(0，＋∞)上是增函數；
當k是偶數時，
則f′(x)＝2x－＝.
所以當x∈(0，)時，f′(x)<0；
當x∈(，＋∞)時，f′(x)>0.
故當k是偶數時，f(x)在(0，)上是單調減函數，在(，＋∞)上是單調增函數．
(2)若k＝2 014，
則f(x)＝x²－2aln x(k∈N^*)．
記g(x)＝f(x)－2ax＝x²－2aln x－2ax，
則g′(x)＝2x－－2a＝(x²－ax－a)．
則方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．
令g′(x)＝0，得x²－ax－a＝0.
因為a>0，x>0，
所以x₁＝<0(舍去)，
x₂＝.
當x∈(0，x₂)時，g′(x)<0，g(x)在(0，x₂)上是單調減函數；當x∈(x₂，＋∞)時，g′(x)>0，g(x)在(x₂，＋∞)上是單調增函數．
當x＝x₂時，g′(x₂)＝0，g(x)_min＝g(x₂)．
因為g(x)＝0有唯一解，所以g(x₂)＝0.則
，即
兩式相減得2aln x₂＋ax₂－a＝0，
因為a>0，所以2ln x₂＋x₂－1＝0.(*)
設函數h(x)＝2lnx＋x－1.
因為當x>0時，h(x)是增函數，所以h(x)＝0至多有一個解．
因為h(1)＝0，所以方程(*)的解為x₂＝1.
從而解得a＝.