Question

已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）由焦點坐標知：.又橢圓上的點滿足，由可求得，再由勾股定理可求得，從而求得.再由求得，從而得橢圓的方程.（Ⅱ）首先考慮與軸垂直的情況，此時可求出直線與直線的交點為，的方程是：，代入驗證知點在直線上.當直線不與軸垂直時，設直線的方程為，點、，，則，，要證明共線，只需證明，即證明.
若，顯然成立；若， 即證明
而，這顯然用韋達定理.
試題解析：（Ⅰ）由題意知：，                 1分
橢圓上的點滿足，且，
．
，．
                      2分
又                      3分
橢圓的方程為．                     4分
（Ⅱ）由題意知、，
（1）當直線與軸垂直時，、，則的方程是：，
的方程是：，直線與直線的交點為，
∴點在直線上.                          6分
（2）當直線不與軸垂直時，設直線的方程為，、，
由得
∴，                   7分
，，共線，∴      8分
又，，需證明共線，
需證明，只需證明
若，顯然成立，若， 即證明
∵
成立，                 11分
∴共線，即點總在直線上.               12分