Question

（2011•湖南模擬）已知函數f（x）=（a-1）x+aln（x-2），（a＜1）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）設a＜0時，對任意x₁、x₂∈（2，+∞），

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-4恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，討論a的正負，利用導函數與函數單調性的關系進行求解即可．
（2）根據當a＜0時，f（x）在（2，+∞）上遞減，不妨設任意x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂，將條件可變為f（x₁）+4x₁＞f（x₂）+4x₂，令g（x）=f（x）+4x，根據單調性將a分離出來，轉化成a＜-3+

3

x-1

在（2，+∞）上恒成立，求出-3+

3

x-1

的最小值即可求出a的范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=（a-1）+

a

x-2

=

(a-1)x-a+2

x-2

（1分）
①a＜0時，f′（x）=

(a-1)(x- a-2 a-1 )

x-2

∵

a-2

a-1

-2=

-a

a-1

＜0，∴0＜

a-2

a-1

＜2，∴x＞2時，f′（x）＜0
∴f（x）在（2，+∞）上遞減．（3分）
②a=0時，f（x）=-x，在（2，+∞）上遞減．（4分）
③0＜a＜1時，

a-2

a-1

＞2
∴x∈（2，

a-2

a-1

）時，f′（x）＞0，f（x）在（2，

a-2

a-1

）上遞增；
當x∈（

a-2

a-1

，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（

a-2

a-1

，+∞）上遞減；（6分）
∴綜上所述，當a≤0時，f（x）在（2，+∞）上遞減，
當0＜a＜1時，f（x）在（2，

a-2

a-1

）上遞增，在（

a-2

a-1

，+∞）上遞減．（7分）
（2）當a＜0時，f（x）在（2，+∞）上遞減；
不妨設任意x₁，x₂∈（2，+∞）且x₁＜x₂

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-4可變為f（x₁）-f（x₂）＞-4（x₁-x₂）
f（x₁）+4x₁＞f（x₂）+4x₂
∴令g（x）=f（x）+4x，∴g（x）在（2，+∞）上遞減
∴g′（x）＜0在（2，+∞）上恒成立
∴a-1+

a

x-2

+4＜0在（2，+∞）上恒成立．
a＜-3+

3

x-1

在（2，+∞）上恒成立
而-3＜-3+

3

x-1

＜0，∴a≤-3．（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及不等式恒成立問題，同時考查了分類討論的思想、轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．