Question

旅游部門開發一種旅游紀念品，每件產品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售件。通過改進工藝，產品的成本不變，質量和技術含量提高，市場分析的結果表明，如果產品的銷售價提高的百分率為。那么月平均銷售量減少的百分率為。改進工藝后，旅游部門銷售該紀念品的平均利潤是y（元）。
（1）寫出y與x的函數關系式；
（2）改進工藝后，確定該紀念品的售價，使旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大。

Answer 1

（1）
（2）產品的銷售價為30元時，旅游部門銷售該紀念品的平均利潤最大。

本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，利用導數求閉區間上函數的最值工，其中根據已知條件確定函數的解析式是解答本題的關鍵．
（2）由已知中如果產品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x2．計算出改進工藝后，每件產品的銷售價為20（1+x），月平均銷售量為2000（1-x²），整理可得y與x的函數關系式；
（3）根據（2）的解析式，利用結合x的取值范圍，利用導數法易得月平均利潤最大值．
解：（1）改進工藝后，每件產品的銷售價為，
用平均銷售量為件，
則月平均利潤（元）
∴y與x的函數關系式為
（2）由（舍）
當，函數y是增函數；
當時，函數y是減函數。
∴函數取得最大值。
故改進工藝后，產品的銷售價為=30元時，旅游部門銷售該紀念品的平均利潤最大。