Question

設函數(shù)f(x)＝x²＋ax＋lg|a＋1|(a≠－1，a∈R)

(1)求證：f(x)能表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和，并求出g(x)和h(x)的表達式．

(2)若f(x)和g(x)在區(qū)間[|a＋1|，a²]上均為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：依題意，應有奇函數(shù)g(x)，偶函數(shù)h(x)，使得： 　　成立，由此得：g(x)＝[f(x)－f(－x)]＝ax，h(x)＝[f(x)＋f(－x)]＝x2＋lg|a＋1|． 　　(2)g(x)＝ax，當且僅當a＜0時，是減函數(shù)，從而a＜0． 　　f(x)＝(x＋)2＋lg|a＋1|－，f(x)在(－∞，－]上是減函數(shù)． 　　若f(x)，g(x)在區(qū)間[|a＋1|，a2]上都是減函數(shù)，其充要條件是 　　由此得－≤a＜－．