Question

某研究機(jī)構(gòu)為了研究人的腳的大小與身高之問(wèn)的關(guān)系，隨機(jī)抽測(cè)了20人，得到如下數(shù)據(jù)：

序號(hào)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
身高x（厘米）	192	164	172	177	176	159	171	166	182	166
腳長(zhǎng)y（碼）	48	38	40	43	44	37	40	39	46	39

序號(hào)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
身高x（厘米）	169	178	167	174	168	179	165	170	162	170
腳長(zhǎng)y（碼）	43	41	40	43	40	44	38	42	39	41

（Ⅰ）若“身高大于l75厘米”的為“高個(gè)”，“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”；“腳長(zhǎng)大于42碼”的為“大腳”，“腳長(zhǎng)小于等于42碼”的為“非大腳”．請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：

	高個(gè)	非高個(gè)	合計(jì)
大腳
非大腳		12
合計(jì)			20

（Ⅱ）根據(jù)題（I）中表格的數(shù)據(jù)，若按99%的可靠性要求，能否認(rèn)為腳的大小與身高之間有關(guān)系？
（Ⅲ）若按下面的方法從這20人中抽取1人來(lái)核查測(cè)量數(shù)據(jù)的誤差：將一個(gè)標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正六面體骰子連續(xù)投擲兩次，記朝上的兩個(gè)數(shù)字的乘積為被抽取人的序號(hào)．試求：①抽到12號(hào)的概率；②抽到“無(wú)效序號(hào)（超過(guò)20號(hào)）”的概率．

Answer 1

分析：I）直接將數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)填在表中即可；
（Ⅱ）可直接利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式求得x²的值進(jìn)而得出結(jié)論；
（Ⅲ）求出連續(xù)投擲兩次所有的結(jié)果，按古典概型計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：（I）據(jù)題意，列出2×2列聯(lián)表為：

	高個(gè)	非高個(gè)	合計(jì)
大腳	5	2	7
非大腳	1	12	13
合計(jì)	6	14	20

…（3分）（說(shuō)明：黑框內(nèi)的三個(gè)數(shù)據(jù)每個(gè)（1分），黑框外合計(jì)數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤的暫不扣分）
（II）假設(shè)H₀：腳的大小與身高之間沒(méi)有關(guān)系
根據(jù)列聯(lián)表得X²=

20×(5×12-1×2)2

6×14×7×13

≈8.802
當(dāng)H₀成立時(shí)，X²＞7.789的概率大約為0.005，而這里8.802＞7.897
所以有99%的可靠性，認(rèn)為腳的大小與身高之間有關(guān)．
（Ⅲ）連續(xù)投擲兩次所有的結(jié)果有6×6=36
由古典概型的概率公式得
①抽到12號(hào)的概率為P1=

4

36

=

1

9

；…（9分）
②抽到“無(wú)效序號(hào)（超過(guò)20號(hào)）”的概率為P2=

6

36

=

1

6

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的應(yīng)用難度不大，但易出現(xiàn)下面的一些錯(cuò)誤：一是不能準(zhǔn)確地掌握各計(jì)算公式，二是出現(xiàn)計(jì)算方面的錯(cuò)誤．