Question

已知直線l：y=kx+1，橢圓E：

x2

9

+

y2

m2

=1(m＞0)．
（Ⅰ）若不論k取何值，直線l與橢圓E恒有公共點，試求出m的取值范圍及橢圓離心率e關于m的函數關系式；
（Ⅱ）當k=

10

3

時，直線l與橢圓E相交于A，B兩點，與y軸交于點M．若

AM

=2

MB

，求橢圓E的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直線l恒過定點M（0，1），且直線l與橢圓E恒有公共點，知點M（0，1）在橢圓E上或其內部，得

02

9

+

12

m2

≤1(m＞0)，由此能求出求出m的取值范圍及橢圓離心率e關于m的函數關系式．
（Ⅱ）由

y= 10 3 x+1 x2 9 + y2 m2 =1

，消去y得(m2+10)x2+6

10

x+9(1-m2)=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6 10

m2+10

，x1x2=

9(1-m2)

m2+10

．M（0，1），由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂．由此得x2=

6 10

m2+10

．從而得到橢圓E的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l恒過定點M（0，1），且直線l與橢圓E恒有公共點，
∴點M（0，1）在橢圓E上或其內部，得

02

9

+

12

m2

≤1(m＞0)，
解得m≥1，且m≠3．（3分）
（聯立方程組，用判別式法也可）
當1≤m＜3時，橢圓的焦點在x軸上，e=

9-m2

3

；
當m＞3時，橢圓的焦點在y軸上，e=

m2-9

m

．
∴e=

9-m2 3 (1≤m＜3) m2-9 m (m＞3)

（6分）
（Ⅱ）由

y= 10 3 x+1 x2 9 + y2 m2 =1

，消去y得(m2+10)x2+6

10

x+9(1-m2)=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

6 10

m2+10

①，x1x2=

9(1-m2)

m2+10

②．
∵M（0，1），∴由

AM

=2

MB

得x₁=-2x₂③．（9分）
由①③得x2=

6 10

m2+10

④．
將③④代入②得，-2(

6 10

m2+10

)2=

9(1-m2)

m2+10

，解得m²=6（m²=-15不合題意，舍去）．
∴橢圓E的方程為

x2

9

+

y2

6

=1．（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和求出m的取值范圍及橢圓離心率e關于m的函數關系式．解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，提高解題能力和解題技巧．