Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個頂點與拋物線C：x2=4

3

y的焦點重合，F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，且離心率e=

1

2

•且過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得

OM

•

ON

=-2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）若AB是橢圓C經過原點O的弦，MN∥AB，求證：

|AB|2

|MN|

為定值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的焦點確定橢圓的頂點，結合離心率，即可求出橢圓的標準方程．
（2）由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩張情況討論：①當直線斜率不存在時，經檢驗不合題意；②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合向量條件，即可求得直線l的方程；
（3）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），求出|MN|與|AB|的長，從而可證結論．

解答：（1）解：拋物線C：x2=4

3

y的焦點為(0，

3

)
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個頂點與拋物線C：x2=4

3

y的焦點重合
∴橢圓的一個頂點為(0，

3

)，即b=

3

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴a=2，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（2）解：由題可知，橢圓的右焦點為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當直線斜率不存在時，M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），∴

OM

•

ON

=(1，

3

2

)•(1， -

3

2

)=1-

9

4

=-

5

4

，不合題意．
②設存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

4k2-12

3+4k2

+k2(

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1)=

-5k2-12

3+4k2

=-2
所以k=±

2

，
故直線l的方程為y=

2

(x-1)或y=-

2

(x-1)（8分）
（3）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 8k2 3+4k2 )2-4( 4k2-12 3+4k2 )]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

消去y，并整理得：x2=

12

3+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x3-x4|=4

3(1+k2) 3+4k2

，
∴

|AB|2

|MN|

=

48(1+k2) 3+4k2

12(k2+1) 3+4k2

=4為定值  （13分）

點評：本題重點考查橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查向量知識的而運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．