Question

已知命題p：x²+x+2-m=0有一正一負兩根，命題q：4x²+4（m-2）x+1=0無實根，若命題p與命題q有且只有一個為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：對于一元二次方程若有一正一負根，則滿足的條件是△＞0且x₁•x₂＜0，若無實根，則△＜0，再利用題中命題一真一假，分為兩種情況，可得實數m的取值范圍．

解答：解：由x²+x+2-m=0有一正一負兩根，得x₁x₂=2-m＜0，
從而m＞2．…（2分）
由4x²+4（m-2）x+1=0無實根，得△=16（m-2）²-16＜0，
從而1＜m＜3．…（4分）
若p真q假，則

m＞2 m≤1，  或m≥3

，∴m≥3．…（8分）
若p假q真，則

m≤2 1＜m＜3

，∴1＜m≤2．
綜上，m≥3，或1＜m≤2．…（12分）

點評：此題考查一元二次方程根的分布情況及命題的真假判斷與應用．屬于基礎題．