Question

已知數列滿足：，其中.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）令，求數列的最大項.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）最大項為.

試題分析：（1）首先根據已知等式，令，可得，再根據已知等式可得，將兩式相減，即可得到數列的一個遞推公式，只需驗證將此遞推公式變形得到形如的形式，從可證明數列是等比數列；（2）由（1）可得，從而，因此要求數列的最大項，可以通過利用作差法判斷數列的單調性來求得： ，
當時，，即；當時，； 當時，，即，因此數列的最大項為.
試題解析：（1）當時，，∴，            1分
又∵，     2分
∴，即，∴.       4分
又∵，∴數列是首項為，公比為的等比數列；  6分
（2）由（1）知，，
∴，  ∴ ，      8分
當時，，即，                     9分
當時，，                                         10分   
當時，，即，                   11分
∴數列的最大項為，                              13分