Question

【題目】已知拋物線 的焦點F1與橢圓 的一個焦點重合，Γ的準線與x軸的交點為F1 ， 若Γ與C的交點為A，B，且點A到點F1 ， F2的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若不過原點且斜率存在的直線l交橢圓C于點G，H，且△OGH的面積為1，線段GH的中點為P．在x軸上是否存在關于原點對稱的兩個定點M，N，使得直線PM，PN的斜率之積為定值？若存在，求出兩定點M，N的坐標和定值的大小；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由拋物線 的焦點 與橢圓 的一個焦點重合，
則 ．
又∵拋物線Γ的準線與x軸的交點為F1（ ，0），且點A到點F1 ， F2的距離之和為4，根據橢圓上的定義知2a=4，
解得a=2．則b2=a2﹣c2=4﹣3=1．
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m（m≠0），G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），
聯立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由判別式和根與系數間的關系知△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=16（4k2+1﹣m2）＞0，
，根據弦長公式知丨GH丨= 丨x1﹣x2丨= = ，
又根據點到直線的距離公式知原點O到直線y=kx+m的距離為
于是△OGH的面積為 ．整理得（1+4k2﹣2m2）2=0，
∴1+4k2﹣2m2=0①
又線段GH的中點 ，即 ．
假設存在滿足條件的定點M，N，不妨設M（s，0），N（﹣s，0）（s＞0），直線PM，PN的斜率之積為t，
則有 ．整理得 ②．
將①代入②，得 ．
由直線l的任意性可得 ，解得 ．
于是存在兩定點 ，使得直線PM，PN的斜率之積為定值，定值為 ．
【解析】（Ⅰ）由拋物線方程，求得c= ，根據橢圓的定義，求得2a=4，即可求得a，則b2=a2﹣c2=4﹣3=1，即可求得橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得丨GH丨，再由點到直線的距離公式及三角形的面積公式求得△OGH的面積，求得1+4k2﹣2m2=0，根據中點坐標公式及直線的斜率公式求得s和t的值，使得直線PM，PN的斜率之積為定值．