Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a+b）cosC+ccosB=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinAcosB的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，（2a+b）cosC+ccosB=0， ∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，
則2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，
∴1=﹣2cosC，得cosC= ，
又0＜C＜π，∴C= ；
（Ⅱ）由（I）得C= ，則A+B=π﹣C= ，
即B= ﹣A，所以 ，
∴sinAcosB=sinAcos（ ﹣A）
=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（ cosA+ sinA）
= sin2A+ = （ ）
=
∵ ，∴ ，
則 ，
即 ，
∴sinAcosB的取值范圍是 ．
【解析】（Ⅰ）由正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導公式化簡已知的式子，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出角C的大小；（Ⅱ）由（I）和內角和定理表示出B，并求出A的范圍，代入sinAcosB后，由兩角差的余弦公式、正弦公式化簡后，由A的范圍和正弦函數的性質求出答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．