Question

平面直角坐標系xoy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設M，P是圓O上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出O點到直線x-y+1=0的距離，進而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；
（2）設直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程；
（3）設M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），，，求出直線MP、NP分別與x軸的交點，進而可求mn的值．
解答：解：（1）因為O點到直線x-y+1=0的距離為，（2分）
所以圓O的半徑為，
故圓O的方程為x²+y²=2．                         （4分）
（2）設直線l的方程為，即bx+ay-ab=0，
由直線l與圓O相切，得，即，（6分）
，
當且僅當a=b=2時取等號，此時直線l的方程為x+y-2=0．（10分）
（3）設M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），，，
直線MP與x軸交點，，
直線NP與x軸交點，，（14分）
===2，
故mn為定值2．                                （16分）
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．