Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=2，n•a_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）令bn=(

2

3

)n•Sn，是否存在正整數m，使得對一切正整數n，總有b_n≤m？若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．
（2）令Cn=

4 n

a 2 n

(n∈N+)，{Cn}的前n項和為T_n，求證：T_n＜3，n∈N₊．

Answer 1

分析：（1）將n=1代入已知的遞推式中得到a₂-a₁=2，由遞推式得到a_n+1-a_n=2（n≥2）
從而得到數列{a_n}是等差數列，并求出通項，即可得到{b_n}的通項．再判斷其單調性，
即可判斷b₄=b₅的值最大，利用恒成立條件即可得到m的范圍．
（2）先用n表示T_n，再用放縮法，疊加法即可證明．

解答：解：（1）令n=1，1•a₂=a₁+1•2，即a₂-a₁=2
由

n•an+1=sn+n(n+1) (n-1)•an=sn-1+n(n-1)

?n•a_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n?n≥2）
即數列{a_n}是以2為首項、2為公差的等差數列，∴a_n=2n
∴sn=n(n+1)，bn=(

2

3

)n•sn=(

2

3

)n•n(n+1)
∴

bn+1

bn

=(

2

3

)(1+

2

n

)≥1，解得n≤4，
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄=b₅＞b₆＞b₇＞…＞b_n＞…
∴b4=b5=

320

81

，∴m≥

320

81

，∴m的最小值為4．
（2）∵Cn=

4 n

a n 2

=

4 n

(2n)2

=

n

n2

∴Tn=c1+c2+…+cn=

n

i=1

1

i3

＜1+

n

i=2

1

(i-1)i(i+1)

=1+

n

i=2

2

(i-1)(i+1) • (i+1)+(i-1)

＜1+

n

i=2

2

(i-1)(i+1) •( i+1  + i-1 )

=1+

n

i=2

i+1 - i-1

(i-1)(i+1)

=1+

n

i=2

(

1

i-1

-

1

i+1

)=1+（1+

2

2

-

1

n

-

1

n+1

)＜2+

2

2

＜3＜2+

2

2

＜3
∴T_n＜3

點評：此題考查等差數列的證明方法，及不等式的放縮法、求和常用的疊加法．