Question

在燈謎晚會上,猜謎者需猜兩條謎語(謎語1和謎語2),猜謎者對這兩條謎語可以按自己選擇的先后順序去猜,如果他決定先猜謎語i(i=1,2),則只有當他猜中此謎后才被允許猜另一條謎語,否則就不允許他猜另一條謎語,若猜謎者猜中謎語i(i=1,2),則獎x_i元,一中一得.設猜謎語i(i=1,2)這兩件事是互不影響的,試問:

(1)他應先猜哪條謎語?

(2)若x₁=200,x₂=100,P₁=0.6,P₂=0.8(P₁、P₂分別為猜中謎語1、謎語2的概率),則應先猜哪條?謎語?

Answer 1

解:(1)設猜中謎語i(i=1,2)的概率為P_i(i=1,2).

若先猜謎語1,則所得獎金ξ₁的分布列為

ξ1	0	x1	x1+x2
P	1-P1	P1(1-P2)	P1P2

所獲獎金的期望

Eξ₁=x₁P₁(1-P₂)+(x₁+x₂)P₁P₂=x₁P₁+x₂P₁P₂;

若先猜謎語2,則所得獎金ξ₂的分布列為

ξ2	0	x2	x1+x2
P	1-P2	P2(1-P1)	P2P1

所獲獎金的期望

Eξ₂=x₂P₂(1-P₁)+(x₁+x₂)P₂P₁=x₂P₂+x₁P₁P₂;

當Eξ₁＞Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂＞x₂P₂+x₁P₁P₂時,先猜謎語1;

當Eξ₁＜Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂＜x₂P₂+x₁P₁P₂時,先猜謎語2;

當Eξ₁=Eξ₂,即x₁P₁+x₂P₁P₂=x₂P₂+x₁P₁P₂時,先猜謎語1和先猜謎語2一樣.

(2)由題設可得Eξ₁=168,Eξ₂=176,因為Eξ₁＜Eξ₂,所以應先猜謎語2.