Question

如圖，已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中點，則直線AE與平面ABC₁D₁所成的角的正弦值是（　　）

• A、

  15

  5

• B、

  15

  3

• C、

  10

  3

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：以D為原心，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出直線AE與平面ABC₁D₁所成的角的正弦值．

解答：解：以D為原心，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系D-xyz，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E是A₁B₁的中點，
∴A（1，0，0），E（1，

1

2

，1），B（1，1，0）
D₁（0，0，1），
∴

AE

=（0，

1

2

，1），

AB

=（0，1，0），

AD1

=（-1，0，1），
設平面ABC₁D₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AD1

=0，

n

•

AB

=0，
∴

-x+z=0 y=0

，∴

n

=(1，0，1)，
設直線AE與平面與平面ABC₁D₁所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=|

1

2 • 5 4

|=

10

5

．
故選：D．

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運用．