Question

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經過點，求（為原點）面積的最大值.

Answer 1

(I)  ； (II)  ．

解析試題分析：(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質，易得 ，進而寫出方程； (II) ΔAOB的面積可以用 ，所以本題需要用弦長公式表示AB的長度，用點到之間的距離公式表示坐標原點O到直線的距離，而這些都需要有直線的方程作為前提條件。所以本題應先考慮設出直線AB的方程．此外，設方程的過程中，注意對于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因為橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內角為的菱形的四個頂點,
所以,橢圓的方程為                                     4分
(II)設因為的垂直平分線通過點， 顯然直線有斜率，
當直線的斜率為時,則的垂直平分線為軸,則
所以
因為，
所以，當且僅當時，取得最大值為       7分
當直線的斜率不為時,則設的方程為
所以，代入得到
當,            即                         
方程有兩個不同的解
又，                                       8分
所以，
又，化簡得到                     
代入，得到                                                    10分
又原點到直線的距離為

所以
化簡得到                                             12分        
因為，所以當時，即時，取得最大值
綜上，面積的最大值為．
考點：直線與圓錐曲線的位置關系．