Question

【題目】已知，當時，.

（Ⅰ）若函數過點，求此時函數的解析式；

（Ⅱ）若函數只有一個零點，求實數的值；

（Ⅲ）設，若對任意實數，函數在上的最大值與最小值的差不大于1，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）將點 代入可得函數的解析式；（Ⅱ）函數有一個零點，即 ，根據對數運算后可得 ，將問題轉化為方程有一個實根，分 和 兩種情況，得到 值，最后再代入驗證函數的定義域；（Ⅲ）首先根據單調性的定義證明函數的單調性，再根據函數的最大值減最小值 整理為 ，對任意 恒成立， 時，區間為函數的單調遞增區間，所以只需最小值大于等于0，求解 的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數過點，

， ，

此時函數

（Ⅱ）由得，

化為，

當時，可得，

經過驗證滿足函數只有一個零點；

當時，令解得，可得，

經過驗證滿足函數只有一個零點，

綜上可得：或.

（Ⅲ）任取且，則，

，即，

在上單調遞減.

函數在區間上的最大值與最小值分別為，

，

整理得對任意恒成立，

令，

函數在區間上單調遞增，

，即，解得，

故實數的取值范圍為.