Question

（2012•重慶）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點．
（Ⅰ）求異面直線CC₁和AB的距離；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據條件得到CD⊥AB以及CC₁⊥CD，進而求出C的長即可；
（Ⅱ）解法一；先根據條件得到∠A₁DB₁為所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角，再根據三角形相似求出棱柱的高，進而在三角形A₁DB₁中求出結論即可；
解法二：過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量的坐標，最后代入向量的夾角計算公式即可求出結論．

解答：解：（Ⅰ）解：因為AC=BC，D為AB的中點，故CD⊥AB，
又直三棱柱中，CC₁⊥面ABC，故CC₁⊥CD，
所以異面直線CC₁和AB的距離為：CD=

BC2-BD2

=

5

．
（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB₁，故CD⊥平面A₁ABB₁，
從而CD⊥DA₁，CD⊥DB₁，故∠A₁DB₁為所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角．
因A₁D是A₁C在面A₁ABB₁上的射影，
又已知AB₁⊥A₁C，由三垂線定理的逆定理得AB₁⊥A₁D，
從而∠A₁AB₁，∠A₁DA都與∠B₁AB互余，
因此∠A₁AB₁=∠∠A₁DA，
所以RT△A₁AD∽RT△B₁A₁A，
因此

AA 1

AD

=

A1B1

AA 1

，得AA 12=AD•A₁B₁=8，
從而A₁D=

AA 12+AD2

=2

3

，B₁D=A₁D=2

3

．
所以在三角形A₁DB₁中，cos∠A₁DB₁=

A1D2+DB 12-A1B12

2•A1D•DB 1

=

1

3

．
解法二：過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，
由第一問知：DB，DC，DD₁兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD₁分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標系D-XYZ．．
設直三棱柱的高為h，則A（-2，0，0），A₁（-2，0，h）．B₁（2，0，h）．C（0，

3

，0）
從而

AB1

=（4，0，h），

A1C

=（2，

3

，-h）．
由AB₁⊥A₁C得

AB 1

•

A1C

=0，即8-h²=0，因此h=2

2

，
故

DA 1

=（-1，0，2

2

），

DB 1

=（2，0，2

2

），

DC

=（0，

5

，0）．
設平面A₁CD的法向量為

m

=（x，y，z），則

m

⊥

DC

，

m

⊥

DA 1

，即

5 y=0 -2x+2 2 z=0

取z=1，得

m

=（

2

，0，1），
設平面B₁CD的法向量為

n

=（a，b，c），則

n

⊥

DC

，

n

⊥

DB 1

，即

5 b=0 2a+2 2 c=0

取c=-1得

n

=（

2

，0，-1），
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2-1

2+1 • 2+1

=

1

3

．
所以二面角的平面角的余弦值為

1

3

．

點評：本題主要考察異面直線間的距離計算以及二面角的平面角及求法．在求異面直線間的距離時，關鍵是求出異面直線的公垂線．