Question

（2012•重慶）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點
（Ⅰ）求點C到平面A₁ABB₁的距離；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意，由于可證得CD⊥平面A₁ABB₁．故點C到平面的距離即為CD的長度，易求；
（II）解法一：由題意結合圖象，可通過作輔助線先作出二面角的平面角∠A₁DD₁，然后在直角三角形A₁D₁D中求出二面角的余弦；
解法二：根據幾何體的形狀，可過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD₁兩兩垂直，則以D為原點，射線DB，DC，DD₁分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz．給出各點的坐標，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量的夾角即為兩平面的夾角．

解答：解：（I）由AC=BC，D為AB的中點，得CD⊥AB．又CD⊥AA₁．
故CD⊥平面A₁ABB₁．
所以點C到平面A₁ABB₁的距離為CD=

BC2-BD2

=

5

（II）解法一：如圖1，取D₁為A₁B₁的中點，連接DD₁，則DD₁∥AA₁∥CC₁．
又由（I）知CD⊥平面A₁ABB₁．故CD⊥A₁D，CD⊥D₁D，所以∠A₁DD₁為所求的二面角A₁-CD-C₁的平面角．因A₁D為A₁C在面A₁ABB₁中的射影，又已知AB₁⊥A₁C由三垂線定理的逆定理得AB₁⊥A₁D．從而∠A₁AB₁、∠A₁DA都與∠B₁AB互余．因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A．因此AA₁：AD=A₁B₁：AA₁，即AA₁²=AD•A₁B₁=8，得AA₁=2

2

，從而A₁D=

AA 12+AD2

=2

3

．所以Rt△A₁D₁D中，cos∠A₁DD₁=

DD 1

A 1D

=

AA 1

A 1D

=

6

3

解法二：如圖2，過D作DD₁∥AA₁交A₁B₁于D₁，在直三棱柱中，有DB，DC，DD₁兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD₁分別為X軸、Y軸、Z軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz．
設直三棱柱的高為h，則A（-2，0，0），A₁（-2，0，h），B₁（2，0，h），C（0，

5

，0），C₁（0，

5

，h），從而

AB 1

=（4，0，h），

A 1C

=（2，

5

，-h）
由AB₁⊥A₁C，可得8-h²=0，h=2

2

，故

DA 1

=（-2，0，2），

CC 1

=（0，0，2

2

），

DC

=（0，

5

，0）
設平面A₁CD的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則有

m

⊥

DC

，

m

⊥

DA 1

∴

m

•

DC

=0且

m

•

DA 1

=0，即

5 y1=0 -2x1+2 2 x1=0

，取z₁=1，則

m

=（

2

，0，1）
設平面C₁CD的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），則

n

⊥

DC

，

n

⊥

CC 1

，即

5

y2=0且2

2

z2=0，取x₂=1，得

n

=（1，0，0），
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m ||  n |

=

2

2+1 ×1

=

6

3

，所以二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值

6

3

點評：本題考查二面角的求法及點到面距離的求法，點到面的求法一般是作垂線，垂線段的長度即所求，二面角的余弦值的求法有兩種，一種是幾何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二種方法是現在比較常用的方法向量法，其特征是思維量小，計算量大，作題時對這兩種方法要根據題設靈活選用