Question

（12分）有一塊邊長為4的正方形鋼板，現對其切割、焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）。有人應用數學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個全等的小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長。
（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的最大容積；
（2）請你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請設計一種新方案，使材料浪費最少，且所得長方體容器的容積。

Answer 1

（1）當時，取最大值 ；
（2）重新設計方案如下：

如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積為6，故第二種方案符合要求.

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解最值問題。
（1）因為設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為，高為x，
，然后求解導數來判定單調性得到極值，進而求解最值。
（2）在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積為6，故第二種方案符合要求
（1）設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為，高為x，
                          ……（2分）
.                                ……（3分）
當時，是關于x的增函數；
當時，是關于x的減函數.
∴當時，取最大值                                       ……（7分）
（2）重新設計方案如下：

如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長方體容器.新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積為6，故第二種方案符合要求.……（12分）