Question

設關于x的不等式ax²+8（a+1）x+7a+16≥0，（a∈Z），只有有限個整數解，且0是其中一個解，則全部不等式的整數解的和為

-10

．

Answer 1

分析：先確定a＜0，再利用0為其中的一個解，a∈Z，求出a的值，從而可得不等式，由此確定不等式的整數解，從而可得結論．

解答：解：設y=ax²+8（a+1）x+7a+16，其圖象為拋物線．
對于任意一個給定的a值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足y≥0而整數解只有有限個，所以a＜0．
因為0為其中的一個解可以求得a≥-

16

7

，又a∈Z，所以a=-2，-1，
則不等式為-2x²-8x+2≥0和-x²+9≥0，可分別求得-

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-2≤x≤

5

-2和-3≤x≤3，
∵x為整數，∴x=-4，-3，-2，-1，0和x=-3，-2，-1，0，1，2，3
∴全部不等式的整數解的和為-10
故答案為：-10

點評：本題考查一元二次不等式的應用，解題的關鍵是確定a的值，求出相應一元二次不等式的解集．