Question

設關于x的不等式

ax-1

x2-a

＜0的解集為S，且3∈S，4∉S，則實數a的取值范圍為（　　）

• A．(-∞，-

  3

  )∪(

  1

  3

  ，

  3

  )
• B．(-∞，

  1

  4

  )∪(16，+∞)
• C．[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )∪(9，16]
• D．不能確定

Answer 1

分析：由已知中關于x的不等式

ax-1

x2-a

＜0的解集為S，且3∈S，4∉S，將3，4分別代入可以構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出實數a的取值范圍．

解答：解：∵關于x的不等式

ax-1

x2-a

＜0的解集為S，
若3∈S，則

3a-1

9-a

＜0，解得a∈（-∞，

1

3

）∪（9，+∞）
若4∉S，則16-a=0，或

4a-1

16-a

≥0，解得a∈[

1

4

，16]
∵[（-∞，

1

3

）∪（9，+∞）]∪[

1

4

，16]=[

1

4

，

1

3

)∪(9，16]
故實數a的取值范圍為[

1

4

，

1

3

)∪(9，16]
故選C

點評：本題考查的知識點是分式不等式的解法，元素與集合關系的判定，其中根據已知條件構造關于a的不等式是解答本題的關鍵，本題易忽略4∉S時，包括4使分母為0的情況，而錯解為[

1

4

，

1

3

)∪(9，16)