已知
為橢圓
上的三個點，
為坐標原點.
（1）若
所在的直線方程為
，求
的長；
（2）設
為線段
上一點，且
，當
中點恰為點
時，判斷
的面積是否為常數，并說明理由.
（1）
;（2）定值為
【解析】
試題分析：（1）因為求
所在的直線方程為
與橢圓方程
相交所得的弦長.一般是通過聯立兩方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，可以解得兩個交點的坐標的橫坐標，確定點的坐標，從而根據兩點的距離公式求出弦長.
（2）直線與圓的位置關系，首先考慮直線的斜率是否存在，做好分類的工作.若當斜率存在時，通過聯立方程，應用韋達定理知識，求出弦長，利用點到直線的距離公式求出三角形的高的長.從而寫出三角形的面積（含斜率的等式）.再根據
的關系求出點P的坐標，帶到橢圓方程中，即可求出含斜率的一個等式，從而可得結論.
試題解析：（1）由
得
，
解得
或
，
所以
兩點的坐標為
和
所以.
（2）①若
是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則
，
因為
，
在線段
上，所以
，求得
，
所以
的面積等于
.
②若B不是橢圓的左、右頂點，設
，
，
由
得
，
，
所以，
的中點
的坐標為
，
所以
，代入橢圓方程，化簡得
.
計算
.
因為點
到
的距離
所以，
的面積
.
綜上，
面積為常數.
考點：1.直線與橢圓的位置關系.2.弦長公式.3.點到直線的距離公式.4.向量的知識.5.整體的解題思想.6.過定點的問題.
同步練習強化拓展系列答案科目：高中數學 來源：2015屆吉林省吉林市高二上學期期末理數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知直線
與雙曲線
，有如下信息：聯立方程組：
, 消去
后得到方程
，分類討論：（1）當
時，該方程恒有一解；（2）當
時，
恒成立。在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
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科目：高中數學 來源：2015屆北京海淀區高二上學期期末考試文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知函數
的導函數為
，那么“
”是“
是函數的一個極值點”的（ ）
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
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科目：高中數學 來源：2015屆北京市西城區高二第一學期期末理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，在四棱錐
中，底面
為矩形，
底面，
、
分別是
、
中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求證：
.
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科目：高中數學 來源：2015屆北京市西城區高二第一學期期末理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
已知正方體
，點
，
，
分別是線段
，
和
上的動點，觀察直線
與
，與
．給出下列結論：
①對于任意給定的點，存在點
，使得
；
②對于任意給定的點
，存在點，使得
；
③對于任意給定的點
，存在點
，使得
；
④對于任意給定的點
，存在點，使得
．
其中正確結論的個數是（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目：高中數學 來源：2015屆北京市西城區高二第一學期期末文科數學試卷（解析版） 題型：填空題
已知一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，若此正方體的棱長為
，那么這個球的表面積為_______.
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