Question

（2007•上海模擬）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，M為A₁B₁的中點，N為BB₁的中點．
（1）求異面直線AM與CN所成角的大小；
（2）求四面體N-AMC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用空間向量求異面直線所成角，就是把異面直線所成角轉化為空間向量的夾角，本題中，建立空間直角坐標系，異面直線AM與CN所成角即

AM

與

CN

的夾角，再用向量的夾角公式計算即可．
（2）欲求四面體N-AMC的體積，只需用割補法，把四面體N-AMC看做以△AMN為底面，以CB為高，利用三棱錐的體積公式計算即可．

解答：解：（1）以D為坐標原點，以DA，DC，DD₁分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標系
則 A（a，0，0）C（0，a，0）M(a，

a

2

，a)N(a，a，

a

2

)
∴

AM

={0，

a

2

，a}，

CN

={a，0，

a

2

}
設

AM

與

CN

夾角為θ，COSθ=

AM CN

| AM || CN |

=

1 2 a2

5 4 a2

=

2

5

∴θ=arccos

2

5

∴異面直線AM與CN所成角為arccos

2

5

  
（2）VN-AMC=VC-AMN=

1

3

S△AMNCB
而S△AMN=SABB1A1-S△AMA1-S△ABN-S△B1MN=a2-

1

4

a2-

1

4

a2-

1

8

a2=

3

8

a2
∴V=

1

3

×

3

8

a2×a=

1

8

a3

點評：本題主要考查了利用空間向量求異面直線所成角，以及三棱錐體積公式的應用．