Question

（本小題滿分14分）
如圖①邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別
為AB、BC的中點，將△BEF剪去，將
△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、
C兩點重合于點P得一個三棱錐如圖②示.              
（1）求證：;
（2）求三棱錐的體積；                
（3）求DE與平面PDF所成角的正弦值.                                                        

Answer 1

（1）證明：見解析；
(2) ．
(3)     

本試題主要考察了線面角的求解，以及垂體的體積的運用，和線線垂直的證明的綜合運用。
（1）依題意知圖①折前,∴,
∵   ∴平面又∵平面，利用線面垂直的性質定理得到結論。
（2）三棱錐的體積可以利用轉換頂點的思想來求解得到。
（3）根據由（2）知 又    ∴平面
∴為DE與平面PDF所成的角，然后借助于三角形得到求解。
（1）證明：依題意知圖①折前,∴,
∵   ∴平面又∵平面      
∴
(2)解法1：依題意知圖①中AE=CF= ∴PE= PF=，在△BEF中,
在中，
∴
∴．

【(2)解法2：依題意知圖①中AE=CF= ∴PE= PF=，
在△BEF中,
取EF的中點M，連結PM
則,∴
∴
∴．
(3) 由（2）知 又    ∴平面
∴為DE與平面PDF所成的角，
在中，∵, 
∴