Question

【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：

經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值.

（1）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）；①；②；③，評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備的性能等級(jí).

（2）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.

（ⅰ）若從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取件零件，求恰有一件次品的概率；

（ⅱ）若從樣本中隨意抽取件零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）該設(shè)備的性能為丙級(jí)別；（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列見解析，.

【解析】

（1）利用條件，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)驗(yàn)證隨機(jī)變量是否滿足①②③中的不等式，即可得出結(jié)論；

（2）（i）計(jì)算出從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上任取一件為次品的概率，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可計(jì)算出結(jié)果；

（ii）由題意得出隨機(jī)變量的可能取值，根據(jù)超幾何分布的知識(shí)得出其分布列，由此可計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.

（1）由題意知道：，，

，，，.

所以由圖表知道：，

，

所以該設(shè)備的性能為丙級(jí)別；

（2）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有件，大于的零件有件，共計(jì)件.

（ⅰ）從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上任取一件，取到次品的概率為，

所以恰有一件次品的概率為；

（ⅱ）從件樣品中任意抽取件，次品數(shù)可能取值為、、，

，，.

所以，隨機(jī)變量的分布列為

故.