Question

已知函數(shù)f(x)=2sinωx•cosωx+2

3

cos2ωx-

3

-1（其中ω＞0），x₁、x₂是函數(shù)y=f（x）的兩個不同的零點，且|x₁-x₂|的最小值為

π

3

．
（1）求ω的值；
（2）若f(a)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4a)的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦可將f（x）化簡為f（x）=2sin（2ωx+

π

3

）-1，由f（x）=0可求得sin（2ωx+

π

3

）=

1

2

，依題意可求得|x₁-x₂|_min=

π

3ω

=

π

3

，從而可求得ω的值；
（2）由f（α）=

2

3

，得sin（2α+

π

3

）=

5

6

，利用誘導(dǎo)公式與二倍角的余弦公式可求得sin（

5π

6

-4α）的值．

解答：解：（1）f（x）=sin2ωx+

3

cos2ωx-1=2sin（2ωx+

π

3

）-1，
由f（x）=0得：2sin（2ωx+

π

3

）-1=0，
∴sin（2ωx+

π

3

）=

1

2

，
∵x₁、x₂是函數(shù)y=f（x）的兩個不同的零點，
∴2ωx₁+

π

3

=

π

6

+2kπ或2ωx₂+

π

3

=

5π

6

+2kπ（k∈Z），
∴2ω|x₁-x₂|=2kπ或2ω|x₁-x₂|=2kπ+

2π

3

，
∴|x₁-x₂|_min=

π

3ω

=

π

3

，
∴ω=1．
（2）f（x）=2sin（2x+

π

3

）-1，
由f（a）=

2

3

，得2sin（2a+

π

3

）-1=

2

3

，
∴sin（2α+

π

3

）=

5

6

，
∴sin（

5π

6

-4α）
=-cos[

3π

2

-（

5π

6

-4α）]
=-cos2（2α+

π

3

）
=2sin2(2α+

π

3

)-1
=2×

25

36

-1
=

7

18

．

點評：本題考查兩角和與差的正弦，著重考查函數(shù)的零點的理解與應(yīng)用，突出考查三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題．