Question

已知f（log₃x）=x²-2x+4，x∈[

1

3

，3]．
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）若方程f（x）=a²-3a+3有實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用換元法得到x以及其范圍求解析式；
（2）設u=3^x，得到f（u），利用u的范圍求得f（u），從而得到a²-3a+3的范圍，解不等式得之．

解答： 解：（1）設t=log₃x，因為x∈[

1

3

，3]，所以t∈[-1，1]；
并且x=3^t，
所以f（t）=（3^t）²-2×3^t+4，
所以f（x）=（3^x）²-2×3^x+4，x∈[-1，1]；
（2）設u=3^x，u∈[

1

3

，3]，f（u）=u²-2u+4=（u-1）²+3，所以f（u）=[3，7]，
所以a²-3a+3∈[3，7]，
所以a∈[-1，0]∪[3，4]．

點評：本題考查了利用換元法求函數解析式以及方程的根的存在性；換元法求解析式必須注意定義域的范圍．