Question

過圓x²+y²=4內點M(1，

2

)作圓的兩條互相垂直的弦AB和CD，則AB+CD的最大值為

2

10

．

Answer 1

分析：由于直線AC、BD均過M點，故可以考慮設兩個直線的方程為點斜式方程，但由于點斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長公式，及基本不等式進行求解．

解答：解：當AC的斜率為0或不存在時，可求得AC+BD=2（

2

+

3

）
當AC的斜率存在且不為0時，
設直線AC的方程為y-

2

=k（x-1），
直線BD的方程為y-

2

=-

1

k

（x-1），
由弦長公式l=2

r2-d2

可得：AC=2

3k2+2 2 k+2 k2+1

BD=2

2k2-2 2 k+3 k2+1

∵AC²+BD²=4（

3k2+2 2 k+2

k2+1

+

2k2-2 2 k+3

k2+1

）=20
∴（AC+BD）²=AC²+BD²+2AC×BD≤2（AC²+BD²）=40
故AC+BD≤2

10

即AC+BD的最大值為2

10

．
故答案為：2

10

點評：本題考查仔細與圓的位置關系，直線方程的應用，基本不等式的應用，點到直線的距離公式，考查轉化思想與計算能力．