Question

已知橢圓G：過點A（0，5），B（-8，3），直線CD過坐標原點O，且在線段AB的右下側，求：
（1）橢圓G的方程；
（2）四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將點A（0，5），B（-8，3），代入橢圓的方程解得：a=10 b=5，最后寫出橢圓G的方程；
（2）連OB，則四邊形ABCD的面積=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC，=|y_B|AO+d_A×OD+d_B×OC，d_A，d_B分別表示A，B到直線CD的距離，設CD：-kx+y=0，代入橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，再結合求根公式即可求得四邊形ABCD的面積，最后結合基本不等式求最大值，從而解決問題．
解答：解：（1）將點A（0，5），B（-8，3），代入橢圓的方程得：b=5，且
解得：a=10 b=5，橢圓G的方程為：
（2）連OB，則四邊形ABCD的面積：S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC=|y_B|AO+d_A×OD+d_B×OC
d_A，d_B分別表示A，B到直線CD的距離，設CD：-kx+y=0，代入橢圓方程得：
x²+4k²x²-100=0，
∴D（，）
OC=OD=，
又y_A=，y_B=，
∴四邊形ABCD的面積：S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC=|y_B|×AO+d_A×OD+d_B×OC
=+×=20+10×≤20+10．
四邊形ABCD的面積的最大值為：20+10．
點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．