Question

已知橢圓C：，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：（c是橢圓的焦半距）相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N．
（1）若橢圓C經過兩點、，求橢圓C的方程；
（2）當c為定值時，求證：直線MN經過一定點E，并求的值（O是坐標原點）；
（3）若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令橢圓mx²+ny²=1，得，由此能求出橢圓方程．
（2）直線，設點P（x，y），點O，M，P，N所在的圓的方程為x²-xx+y²-yy=0，與圓作差，即有直線，因為點P（x，y）在直線AB上，所以，由此能求出 的值．
（3）由直線AB與圓G：相離，知e⁴-6e²+4＞0．因為0＜e＜1，所以，連接ON，OM，OP，若存在點P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，所以e⁴-3e²+1≤0．由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
解答：解：（1）令橢圓mx²+ny²=1，其中，
得，所以，即橢圓為．         …（3分）
（2）直線，
設點P（x，y），則OP中點為，
所以點O，M，P，N所在的圓的方程為，
化簡為x²-xx+y²-yy=0，…（5分）
與圓作差，即有直線，
因為點P（x，y）在直線AB上，所以，
所以，所以，
得，，故定點，…（8分）
．                          …（9分）
（3）由直線AB與圓G：（c是橢圓的焦半距）相離，
則，即4a²b²＞c²（a²+b²），4a²（a²-c²）＞c²（2a²-c²），
得e⁴-6e²+4＞0
因為0＜e＜1，所以，①…（11分）
連接ON，OM，OP，若存在點P使△PMN為正三角形，則在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，
所以，a²b²≤c²（a²+b²），a²（a²-c²）≤c²（2a²-c²），得e⁴-3e²+1≤0
因為0＜e＜1，所以，②…（14分）
由①②，，
所以．                                     …（15分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．