Question

【題目】如圖，是邊長為6的正方形，已知，且并與對角線交于，現以為折痕將正方形折起，且重合，記重合后為，記重合后為.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連接，則，再取中點，連接，易得，得出四邊形為平行四邊形，得，，證明平面，即可證出平面平面.

（2）以與垂直的直線為軸，為軸，為軸建立坐標系，利用空間向量法分別求出平面和平面的法向量，再利用空間向量二面角公式求出結果.

（1）取中點，連接，則.再取中點，連接，易得，于是，四邊形為平行四邊形，得，從而，

那么平面，又平面，故平面平面.

（2）以與垂直的直線為軸，為軸，為軸建立坐標系，則，，

設平面的法向量，由得：

，取，得，

所以平面的法向量.

同理可得：平面的法向量，

則，

所以平面與平面所成二面角的余弦值為.