Question

【題目】某地在每周六的晚上8點到10點半舉行燈光展，燈光展涉及到10000盞燈，每盞燈在某一時刻亮燈的概率均為，并且是否亮燈彼此相互獨立.現統計了其中100盞燈在一場燈光展中亮燈的時長（單位：），得到下面的頻數表：

亮燈時長/
頻數	10	20	40	20	10

以樣本中100盞燈的平均亮燈時長作為一盞燈的亮燈時長.

（1）試估計的值；

（2）設表示這10000盞燈在某一時刻亮燈的數目.

①求的數學期望和方差；

②若隨機變量滿足，則認為.假設當時，燈光展處于最佳燈光亮度.試由此估計，在一場燈光展中，處于最佳燈光亮度的時長（結果保留為整數）.

附：

①某盞燈在某一時刻亮燈的概率等于亮燈時長與燈光展總時長的商；

②若，則，，.

Answer 1

【答案】（1）

（2）①，,②72

【解析】

（1）將每組數據的組中值乘以對應的頻率，然后再將結果相加即可得到亮燈時長的平均數，將此平均數除以（個小時），即可得到的估計值；

（2）①利用二項分布的均值與方差的計算公式進行求解；

②先根據條件計算出的取值范圍，然后根據并結合正態分布概率的對稱性，求解出在滿足取值范圍下對應的概率.

（1）平均時間為（分鐘）

∴

（2）①∵，

∴，

②∵，，∴

∵，，

∴

∴

即最佳時間長度為72分鐘.