Question

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC．
（1）求證：a，b，c依次成等比數列；
（2）若b=2，求u=| |的最小值，并求u達到最小值時cosB的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC，

∴2cosAcosC+2sinAsinC+1﹣2sin2B=1+2cosAcosC，

即2sinAsinC﹣2sin2B=0，

即sinAsinC=sin2B，

即ac=b2，

∴a，b，c依次成等比數列

（2）解：若b=2，則ac=4，

則u=| |=| |=|a﹣c|+| |≥2 ，

當且僅當|a﹣c|= 時，u=| |取最小值2 ，

此時cosB= = = ．

【解析】（1）將已知中2cos（A﹣C）+cos2B=1+2cosAcosC展開合并，再用正弦定理即可得到結論；（2）若b=2，則ac=4，利用基本不等式，可得當且僅當|a﹣c|= 時，u=| |取最小值2 ，再由余弦定理，可得cosB的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用基本不等式在最值問題中的應用和正弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；正弦定理:．