Question

設數列a_n=n³+λn（n∈N），且滿足a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n＜…，則實數λ的取值范圍是

[-3，+∞）

．

Answer 1

分析：令f（x）=x³+λx（x≥1）．由題意可知：函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，因此f′（x）=3x²+λ≥0恒成立，等價于λ≥（-3x²）_max（x≥1）．利用二次函數的單調性求出最值即可．

解答：解：令f（x）=x³+λx（x≥1）．由題意可知：函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增．
∴f′（x）=3x²+λ≥0恒成立，即λ≥（-3x²）_max（x≥1）．
∵當x≥1時，(-3x2)max=-3×12=-3．
∴λ≥-3．
故答案為[-3，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、二次函數的單調性、恒成立問題等基礎知識與基本方法，熟練掌握問題的等價轉化及其方法是解題的關鍵．