Question

對于各項均為整數的數列{a_n}，如果滿足a_i+i（i=1，2，3，…）為完全平方數，則稱數列{a_n}具有“P性質”；
不論數列{a_n}是否具有“P性質”，如果存在與{a_n}不是同一數列的{b_n}，且{b_n}同時滿足下面兩個條件：①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一個排列；②數列{b_n}具有“P性質”，則稱數列{a_n}具有“變換P性質”．
（Ⅰ）設數列{a_n}的前n項和Sn=

n

3

(n2-1)，證明數列{a_n}具有“P性質”；
（Ⅱ）試判斷數列1，2，3，4，5和數列1，2，3，…，11是否具有“變換P性質”，具有此性質的數列請寫出相應的數列{b_n}，不具此性質的說明理由；
（Ⅲ）對于有限項數列A：1，2，3，…，n，某人已經驗證當n∈[12，m²]（m≥5）時，數列A具有“變換P性質”，試證明：當n∈[m²+1，（m+1）²]時，數列A也具有“變換P性質”．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知a_n=n²-n（n∈N^*）．所以a_i+i=i²（i=1，2，3，）是完全平方數，數列{a_n}具有“P性質”．
（Ⅱ）由題設條件知：數列1，2，3，4，5具有“變換P性質”，數列{b_n}為3，2，1，5，4．數列1，2，3，，11不具有“變換P性質”．以數列1，2，3，，11不具有“變換P性質”．
（Ⅲ）設n=m²+j，1≤j≤2m+1，令h=4m+4-j-1，則h∈[12，m²]．由此可知當n∈[m²+1，（m+1）²]時，數列A也具有“變換P性質”．

解答：解：（Ⅰ）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1（1分）=

n

3

(n2-1)-

n-1

3

[(n-1)2-1]=n2-n，（2分）
又a₁=0，所以a_n=n²-n（n∈N^*）．（3分）
所以a_i+i=i²（i=1，2，3，）是完全平方數，數列{a_n}具有“P性質”．（4分）
（Ⅱ）數列1，2，3，4，5具有“變換P性質”，（5分）
數列{b_n}為3，2，1，5，4．（6分）
數列1，2，3，，11不具有“變換P性質”．（7分）
因為11，4都只有與5的和才能構成完全平方數，
所以數列1，2，3，，11不具有“變換P性質”．（8分）
（Ⅲ）設n=m²+j，1≤j≤2m+1，
注意到（m+2）²-（m²+j）=4m+4-j，
令h=4m+4-j-1，
由于1≤j≤2m+1，m≥5，所以h=4m+4-j-1≥2m+2≥12，
又m²-h=m²-4m-4+j+1≥m²-4m-2，m²-4m-2=（m-2）²-6＞0，
所以h＜m²，
即h∈[12，m²]．（10分）
因為當n∈[12，m²]（m≥5）時，數列{a_n}具有“變換P性質”，
所以1，2，，4m+4-j-1可以排列成a₁，a₂，a₃，，a_h，使得a_i+i（i=1，2，，h）都是平方數；（11分）
另外，4m+4-j，4m+4-j+1，，m²+j可以按相反順序排列，即排列為m²+j，，4m+4-j+1，4m+4-j，
使得（4m+4-j）+（m²+j）=（m+2）²，（4m+4-j+1）+（m²+j-1）=（m+2）²，，（12分）
所以1，2，，4m+4-j-1，4m+4-j，，m²-1+j，m²+j
可以排成a₁，a₂，a₃，，a_h，m²+j，，4m+4-j滿足a_i+i（i=1，2，，m²+j）都是平方數．（13分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意歸納總結能力的培養．