Question

已知函數f(x)=2

3

sinxcosx+2sin2x-1，x∈R．
（I）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（II）將函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，再把所得到的圖象向左平移

π

6

個單位長度，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在區間[-

π

6

，

π

12

]上的值域．

Answer 1

分析：（I）f（x）解析式第一項利用二倍角的正弦哈斯公式化簡，后兩項變形后利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出函數的最小正周期，根據正弦函數的單調遞增區間即可得到f（x）的遞增區間；
（II）由第一問確定的f（x）解析式，利用平移規律得到平移后的函數解析式g（x），由x的范圍求出4x的范圍，求出g（x）的最小值與最大值，即可得出g（x）的值域．

解答：解：（I）∵f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），
∴函數f（x）的最小正周期為T=π；
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：-

π

6

+kπ≤≤

π

3

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調遞增區間為[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（II）函數y=f（x）的圖象上各點的縱坐標保持不變，橫坐標縮短到原來的

1

2

，
得到y=2sin（4x-

π

6

），
再把所得的圖象向左平移

π

6

個單位得到g（x）=2cos4x，
當x∈[-

π

6

，

π

12

]時，4x∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴當x=0時，g（x）_max=2；當x=-

π

6

時，g（x）_min=-1，
∴y=g（x）在區間[-

π

6

，

π

12

]上的值域為[-1，2]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，二倍角的正弦、余弦函數公式，正弦函數的單調性，余弦函數的定義域與值域，以及平移規律，熟練掌握公式是解本題的關鍵．