Question

過曲線y=x²上一點Q₀（1，1）作曲線的切線，交x軸于點P₁；過P₁作垂直于x軸的直線交曲線于Q₁，過Q₁作曲線的切線交x軸于P₂；過P₂作垂直于x軸的直線交曲線于Q₂；如此繼續下去得到點列：P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，設P_n的橫坐標為x_n．
（Ⅰ）求x₁；
（Ⅱ）求x_n（用只含有字母n的代數式表示）．
（Ⅲ）令an=

n

xn

，求數列{a_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，求得曲線在點Q₀處的切線方程，令y=0，可求x₁；
（Ⅱ）曲線在點Qn-1(xn-1，

x

2 n-1

)處的切線方程為y-

x

2 n-1

=2xn-1(x-xn-1)，令y=0，得x=

1

2

xn-1，即xn=

1

2

xn-1，從而可得{x_n}是以x1=

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，由此可求x_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an=

n

xn

=n•2n，所以Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，利用錯位相減法可求數列{a_n}的前n項的和S_n．

解答：解：（Ⅰ）因為y'=2x，所以曲線在點Q₀處的切線方程為y-1=2（x-1）．
令y=0，得x=

1

2

，即x1=

1

2

．
（Ⅱ）曲線在點Qn-1(xn-1，

x

2 n-1

)處的切線方程為y-

x

2 n-1

=2xn-1(x-xn-1)．
令y=0，得x=

1

2

xn-1，即xn=

1

2

xn-1．
所以{x_n}是以x1=

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列．
所以xn=

1

2

×(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得an=

n

xn

=n•2n．
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n①
∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1②
由①-②得，-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2．
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

點評：本題考查導數的幾何意義，考查等比數列的判定，考查等比數列的通項，考查錯位相減法求數列的和，屬于中檔題．