Question

【題目】設函數f（x）的解析式滿足 ．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當a=1時，試判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并加以證明；
（3）當a=1時，記函數 ，求函數g（x）在區間 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，

∴

∴

（2）解：當a=1時，

f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

證明：設0＜x1＜x2＜1，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0f（x1）＞f（x2）

所以，f（x）在（0，1）上單調遞減，

同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調遞增

（3）解：∵ ，

∴g（x）為偶函數，

所以，∴y=g（x）的圖象關于y軸對稱，

又當 時，由（2）知 在 單調減，[1，2]單調增，

∴

∴當a=1時，函數g（x）在區間 上的值域的為

【解析】（1）根據整體思想x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化簡后判斷出單調性，再利用定義法證明：在區間上取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．（3）根據題意判斷出函數g（x）的奇偶性，根據（2）中函數的單調性，即可求出函數g（x）在區間 上的值域．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域和函數單調性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．