Question

【題目】已知定義在上的函數和數列滿足下列條件:，當且時，且，其中均為非零常數.

（1）數列是等差數列，求的值；

（2）令，若，求數列的通項公式；

（3）證明:數列是等比數列的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意知，，得，再由等差數列，即可求解值；

（2）由，可得，因此，由此可知，數列是一個公比為的等比數列.

（3）先進行充分性證明：若則數列是等比數列；再進行必要性證明：若數列是等比數列，則.

（1）由已知，，

得，

由數列是等差數列，得，

所以，，，

得.

（2）由，可得，

且當時，

，

所以，當時，，

因此，數列是一個公比為的等比數列.

故通項公式為

（3）是等比數列的充要條件是，

充分性證明:若，則由已知，

得，所以，是等比數列.

必要性證明:若是等比數列，由（2）知，，

，

.

當時，.上式對也成立，

所以，數列的通項公式為:.

所以，當時，數列是以為首項，為公差的等差數列.

所以，.

當時，.上式對也成立，

所以，.

所以，.

即，等式對于任意實數均成立.

所以.