Question

（2012•東城區模擬）已知函數f（x）=

x

1+|x|

 （x∈R）），給出下列命題：
（1）對?∈R，等式f（-x）+f（x）=0恒成立；
（2）函數f（x）的值域為（-1，1）；
（3）若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）函數g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確命題的序號為

（1）、（2）、（3）

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：命題（1）可直接代入驗證；
命題（2）分x=0和x≠0求解，當x≠0時，分子分母同時除以x可求；
命題（3）用單調性定義證明函數在R上為單調函數；
命題（4）根據函數為奇函數，分析在（0，+∞）上函數是否有零點，則在（-∞，0）隨之判出．

解答：（1）f（-x）=

-x

1+|-x|

=-

x

1+|x|

=-f(x)，所以（1）成立；
（2）當x=0時f（x）=0，因函數為奇函數，當x＞0時，f（x）=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，∵

1

x

＞0，∴1+

1

x

＞1，
∴0＜

1

1+ 1 x

＜1，即0＜f（x）＜1；由對稱性知當x＜0時，-1＜f（x）＜0，又f（0）=0，∴函數f（x）的值域為（-1，1）；
（3）設x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+|x1|

-

x2

1+|x2|

=

x1+x1|x2|-x2-x2|x1|

(1+|x1|)(1+|x2|)

=

x1-x2

(1+|x1|)(1+|x2|)

∵x₁＜x₂＜0，∴

x1-x2

(1+|x1|)(1+|x2|)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函數f（x）在（-∞，0）為單調函數，所以函數在定義域上為單調函數，若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
（4）當x＞0時，由f（x）-x=0得，

x

1+x

-x=0，此時方程無解，由對稱性知，當x＜0時，方程也無解，又f（0）=0，∴函數g（x）=f（x）-x在R上有一個零點0，所以④不正確．
故答案為①②③．

點評：本題考查了命題真假的判斷，解答的關鍵是把原函數分段，在（0，+∞）上判出函數g（x）=f（x）-x的零點情況，根據函數f（x）是奇函數，運用對稱性得到函數在整個定義域上的零點情況．