Question

（本題12分）某校決定為本校上學時間不少于30分鐘的學生提供校車接送服務．為了解學生上學所需時間，從全校600名學生中抽取50人統計上學時間（單位：分鐘），現對600人隨機編號為001，002，…600．抽取50位學生上學時間均不超過60分鐘，將時間按如下方式分成六組，第一組上學時間在[0，10），第二組上學時間在[10，20），…第六組上學時間在[50，60]得到各組人數的頻率分布直方圖．如圖．

（1）若抽取的50個樣本是用系統抽樣的方法得到，
且第一段的號碼為006，則第五段抽取的號碼是什么？
（2）若從50個樣本中屬于第4組和第6組的所有人
中隨機抽取2人，設他們上學時間分別為a、b，求滿足
|a-b|＞10的事件的概率；
（3）設學校配備的校車每輛可搭載40名學生，請根
據抽樣的結果估計全校應有多少輛這樣的校車？

Answer 1

（1）第五段抽取的號碼是054；（2）p=；
（3）全校上學時間不少于30分鐘的學生約有120人，所以估計全校需要3輛校車．

本題主要考查了系統抽樣，系統抽樣每個個體被抽到的概率相等，是等距抽樣，以及古典概型的概率問題，屬于基礎題．
（I）根據抽取的50個樣本，則應將600人平均分成50組，每組12人，然后利用系統抽樣的原則，每組中抽出的號碼應該等距即可；
（II）先由直方圖知第4組頻率和第6組頻率，然后利用頻數=樣本容量×頻率，求出第4組和第6組的人數，然后利用列舉法將從這六人中隨機抽取2人的所有情況逐一列舉出來，然后將滿足條件的也列舉出來，最后根據古典概型的計算公式進行求解即可．
（III）利用樣本估計總體的方法，先算出全校上學時間不少于30分鐘的學生約有多少人，從而估計全校需要幾輛校車．
解：
（1）600÷50=12，第一段的號碼為006，第五段抽取的數是6+（5-1）×12=54，即第五段抽取的號碼是054
（2）第4組人數=0.008×10×50=4，這4人分別設為A、B、C、D
第6組人數=0.004×10×50=2，這2人分別設為x，y隨機抽取2人的可能情況是：AB  AC  AD  BC  BD  CD  xy  Ax  Ay  Bx  By  Cx  Cy  Dx  Dy一共15種情況，其中他們上學時間滿足|a-b|＞10的情況有8種所以滿足|a-b|＞10的事件的概率p=
（3）全校上學時間不少于30分鐘的學生約有600×（0.008+0.008+0.004）×10=120人所以估計全校需要3輛校車．