Question

某市4997名學生參加高中數學會考，得分均在60分以上，現從中隨機抽取一個容量為500的樣本，制成如圖所示的頻率分布直方圖（圖a）．

（1）任抽取該市一位學生，求其得分在區間[90，100]的概率（用頻率代替概率）；
（2）由頻率分布直方圖可知本次會考的數學平均分為81分．請估計該市得分在區間[60，70]的人數；
（3）如圖b所示莖葉圖是某班男女各4名學生的得分情況，現用簡單隨機抽樣的方法，從這8名學生中，抽取男女生各一人，求女生得分不低于男生得分的概率．

Answer 1

解：（1）設圖中4塊矩形表示的頻率分別為a，b，c，d，
則根據頻率分布直方圖可知d=0.25．
所以任抽一位學生，其得分在區間[90，100]的概率是0、25．（2分）
（2）由題知b=0.25，a+c=0.5
則有65a+75×0.25+85（0.5-a）+0.25×95=81，解得a=0.2，
用樣本估計總體得5000×0、2=1000，（或4997×0、2=999人），
所以，估計得分在區間[60，70]的人數有近一千人．（4分）
（3）基本事件共16種：
（64，67）（64，75）（64，77）（64，81）
（70，67）（70，75）（70，77）（70，81）
（75，67）（75，75）（75，77）（75，81）
（86，67）（86，75）（86，77）（86，81）
女生得分不低于男生有10種，所以（4分）
分析：（1）設圖中4塊矩形表示的頻率分別為a，b，c，d，由直方圖求出得分區間[90，100]的頻率d，用頻率模擬概率即得所求答案．
（2）由圖知b=0.25，a+c=0.5再有平均值為81建立方程求出a，c，即可求出該市得分在區間[60，70]的人數；
（3）列舉出所有的基本事件，及事件“女生得分不低于男生得分”包括的基本事件數，由古典概率模型求出概率．
點評：本題考查古典概率模型及其計算公式，解題的關鍵是理解古典概率模型以及頻率直方圖，古典概率模型是一個基本的概率模型應用十分廣泛，頻率分布直方圖是統計收集數據的重要方法，其橫軸為組距，縱軸為頻率比組距，每組中小矩形的面積是該組的頻率．