Question

設函數f （x）的定義域為D，如果對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=C(C為常數)成立，則稱函數f （x）在D上均值為C，給出下列四個函數①y=x³，②y=4sinx，③y=lgx，④y=2^x，
則滿足在其定義域上均值為2的函數是

 

．

Answer 1

分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立的函數．
對于函數①y=x³，可直接取任意的x₁∈R，驗證求出唯一的x2=

3	4-  x 3 1

，即可得到成立．
對于函數②y=4sinx，因為y=4sinx是R上的周期函數，明顯不成立．
對于函數③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然成立．
對于函數④y=2^x，特殊值法代入驗證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：對于函數①y=x³，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 3 1 + x 3 2

2

=2，x2=

3	4-  x 3 1

，可以得到唯一的x₂∈D．故滿足條件．
對于函數②y=4sinx，明顯不成立，因為y=4sinx是R上的周期函數，存在無窮個的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故不滿足條件．
對于函數③y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
對于函數④y=2^x定義域為R，值域為y＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
故答案為①③．

點評：此題主要應用新定義的方式考查平均值不等式在函數中的應用．對于新定義的問題，需要認真分析定義內容，切記不可偏離題目．