Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）設函數f（x）的兩個極值點分別為x₁，x₂判斷下列三個代數式：①x₁+x₂+a，②

x

2 1

+

x

2 2

+a2，③

x

3 1

+

x

3 2

+a3
中有幾個為定值？并且是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求出g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（I）根據函數f（x）表達式，求出其導數f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，因此將不等式f′（x）＞a²化簡成（x-3）（x+a）＞0，對任意x∈[1，2]恒成立，從而得到x+a＜0對x∈[1，2]恒成立，由此即可得到實數a的取值范圍；
（II）根據題意，結合一元二次方程根與系數的關系與根的判別式，可得x₁+x₂+a=3為定值，且

x

2 1

+

x

2 2

+a2=9也為定值．而化簡

x

3 1

+

x

3 2

+a3=3a³-9a²+27可得它不是定值，從而得到g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），利用導數研究g（a）在區間（-1，3）上的單調性，并結合函數值的大小比較，即可得到出g（a）的最小值．

解答：解：（I）由f(x)=

1

3

x3+

a-3

2

x2+(a2-3a)x-2a．
得f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a，對任意x∈[1，2]，f'（x）＞a²恒成立，
即x²+（a-3）x-3a＞0，（x-3）（x+a）＞0對任意x∈[1，2]恒成立，
又x-3＜0恒成立，所以x+a＜0對x∈[1，2]恒成立，所以a＜-x恒成立，
所以a＜-2．…（4分）
（II）依題意知x₁，x₂恰為方程f'（x）=x²+（a-3）x+a²-3a=0的兩根，
所以

(a-3)2-4(a2-3a)＞0 x1+x2=3-a x1x2=a2-3a

解得-1＜a＜3…（5分）
所以①x₁+x₂+a=3為定值，…（6分）
②

x

2 1

+

x

2 2

+a2=(x1+x2)2-2x1x2+a2=9為定值，…（7分）
③

x

3 1

+

x

3 2

+a3=(x1+x2)(

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

)+a3=3a3-9a2+27不是定值
即g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3），可得g'（a）=9a²-18a，
當a∈[-1，0]時，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是增函數，
當a∈[0，2]時，g'（a）＜0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[-1，0]是減函數，
當a∈[2，3]時，g'（a）＞0，g（a）=3a³-9a²+27在a∈[2，3]是增函數，
因此，g（a）在（-1，3）上的最小值是g（-1）與g（2）中較小的一個，
又∵g（-1）=15；g（2）=15
∴g（a）=3a³-9a²+27（-1＜a＜3）的最小值為15（a=2時取到）．…（12分）

點評：本題給出三次多項函數，在不等式恒成立的情況下求實數a的取值范圍并討論了函數的極值問題．著重考查了三次多項式函數的單調性和利用導數研究函數的極值與最值等知識，屬于中檔題．